Analysis I

(08 000300, Wintersemester 2019/20)

Vorlesung: Oliver Roth
Übungen: Annika Moucha, Matthias Frerichs, Simon Markfelder, Jan Scherz

"Analysis ist the art of taming infinity."

\zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.644934.

Materialien: Hinweise | 1. Übungsblatt | 2. Übungsblatt | 1. Vorlesung | 2. & 3. Vorlesung

Zeit und Ort: Mi, Do 10:15-11:45, Turing-HS
Beginn: Mi., 16.10.2019, 10:15 Uhr, Turing-HS
Anmeldung zu den Übungen: Via Wue@Study (ab Oktober 2019; für die Vorlesung ist keine Anmeldung notwendig)

Inhaltsangabe: Dies ist der erste Teil eines fünfsemestrigen Einführungskurses in die Analysis:
Wir beginnen diesen Analysis-Zyklus mit der geometrischen Summenformel für komplexe Zahlen und beenden ihn mit einer Verallgemeinerung der geometrischen Summenformel, dem Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren. Wir behandeln die numerischen Aspekte der Analysis (etwa das Newton Verfahren), gewöhnliche Differentialgleichungen sowie die Analysis auf Mannigfaltigkeiten nur andeutungsweise und verweisen auf die entsprechenden Vorlesungen hierzu: Numerische Mathematik I, Gewöhnliche Differentialgleichungen sowie Geometrische Analysis.

Die Vorlesung Analysis I behandelt die Grundlagen der eindimensionalen Analysis. Folgende Themen sind geplant:
Darüber hinaus stellt die Vorlesung zur Analysis I (zusammen mit der Vorlesung Lineare Algebra I) auch eine Einführung in die Hochschulmathematik dar.

Notwendige Voraussetzungen: Freude am Nachdenken und intensives Interesse an der Mathematik.

Hinweis: Für die sich anschließende Vorlesung Analysis II im Sommersemester 2020 werden Kenntnisse der Linearen Algebra I vorausgesetzt: "Differentiation means Linearization". Es empfiehlt sich daher entweder die Vorlesungen zur Linearen Algebra parallel zu den Analysis-Vorlesungen zu besuchen oder aber zunächst nur die Lineare Algebra I zu hören und mit der Analysis erst im Sommersemester 2020 oder im Wintersemester 2020/21 zu beginnen.

Literaturauswahl: Es gibt viele ausgezeichnete Lehrbücher zur Analysis u.a.

Vorabinformationen für Studieneinsteiger:

Die Lehrveranstaltungen zur Analysis I behandeln die Grundlagen der Differential- und Integralrechnung von Funktionen einer Variablen. Sie gliedern sich in die Vorlesung Analysis I und die zugehörigen Übungen zur Analysis I und richten sich gemäß der Studienverlaufspläne an alle Studierende der Mathematik der folgenden Studiengänge
jeweils Studienbeginn WS 2019/20.
Zusammen mit den parallel angebotenen Vorlesungen zur Linearen Algebra bilden die Analysisvorlesungen die zentrale Grundlage des Mathematikstudiums. Kenntnisse in Analysis werden in vielen weitergehenden Lehrveranstaltungen benötigt (z.B. in Differentialgleichungen, Numerische Mathematik, Optimierung, Funktionalanalysis, Funktionentheorie usw.).

Vorlesung Analysis I: In der Vorlesung werden die wichtigsten Stoffinhalte vermittelt und vorgestellt. Sie bildet eine "Führung durch die Theorie". Die grundlegenden Konzepte werden in knapper Form an die Tafel geschrieben und dabei ausführlich erläutert. Es ist unerläßlich, während der Vorlesungen besonders aufmerksam auf diese zusätzlichen Erklärungen und Motivationen zu achten und sich diese zu notieren. In diesen Erläuterungen steckt das eigentliche "Know-how", welches insbesondere auch für die zu bearbeitenden Übungsaufgaben benötigt wird! Dort müssen Sie selbstständig Beweise führen und Beweise finden. Wie man solche Beweise führt und wie man Ideen für Beweise finden kann, wird in den Vorlesungen vorgeführt. Eine Mathematik-Vorlesung vermittelt in kurzer Zeit eine enorme Stofffülle und stellt hohe Ansprüche an das Konzentrationsvermögen aller Beteiligten, welches neben dem besonders wichtigen Zuhören und Mitdenken auch das Mitschreiben ermöglichen muss.
Die Vorlesung Analysis I findet zweimal pro Woche statt, jeweils mittwochs und donnerstags im Turing-HS (Informatik-Gebäude). Die Vorlesungen dauern jeweils 90 Minuten. Sie beginnen um 10.15 Uhr und enden gegen 11.45 Uhr. Die erste Vorlesung findet am Mi., 16.10.2019, 10.15 Uhr statt.

Nachbereitung der Vorlesung: Eine wichtige Rolle spielt die gründliche Nachbereitung der Vorlesung. Nehmen Sie sich hierfür ausreichend Zeit. Gehen Sie Ihre Vorlesungsmitschrift Schritt für Schritt durch und vollziehen Sie alle Beweise genau nach. Wenn Sie einen mathematischen Text (z.B. Ihre Vorlesungsmitschrift oder ein Lehrbuch) lesen, sollten Sie dies niemals passiv, sondern stets aktiv mit Stift und Papier tun. Schreiben Sie sich die Definitionen und Sätze stichwortartig noch einmal auf. Achten Sie auch auf die Beispiele der Vorlesungen. Ein neues Konzept können Sie sich viel besser merken, wenn Sie ein (möglichst einfaches) Beispiel dazu kennen. Versuchen Sie auch selbst eigenständig Beispiele zu finden und notieren Sie diese. In manchen Fällen werden Beispiele in der Vorlesung nur skizzenhaft behandelt; versuchen Sie dann diese Beweiseansätze selbstständig zu vervollständigen. Neben Ihrer eigenen Vorlesungsmitschrift helfen Ihnen evtl. auch eines oder mehrere der vielen Lehrbücher zur Analysis weiter (siehe Liste weiter oben). Beachten Sie, dass in den Vorlesungen stets vorausgesetzt wird, dass sich mit den Inhalten der vorangegangenen Vorlesungen intensiv auseinander gesetzt haben.

Übungen zur Analysis I: In den zugehörigen Übungen wird der in der Vorlesung behandelte Stoff vertieft. Sie dienen dazu, das Verständnis zu schärfen und die Theorie auf konkrete mathematische Probleme anzuwenden. Dazu wird einmal die Woche ein Übungsblatt ausgegeben (nur online hier). Die Aufgaben sollen innerhalb einer Woche schriftlich bearbeitet werden. Die schriftlichen Lösungen können einzeln oder zu zweit abgegeben werden. Die abgegebenen Bearbeitungen werden korrigiert und bepunktet. Die Korrektoren sind besonders qualifizierte, fortgeschrittene Studierende der Mathematik. Die korrigierten Aufgabenblätter werden dann in den einzelnen Übungsgruppen zurückgegeben und dort besprochen. Die aktive Teilnahme an den Übungen ist für das Verständnis des Stoffes unbedingt notwendig, letzlich kann man Mathematik und die ihr eigenen Arbeitsmethoden nur durch Selbermachen lernen. Wie für jede andere Sportart gilt: Die Beherrschung der Mathematik ist nur durch konstante Anstrengung und eigene Aktivität möglich. In den Übungsstunden besteht die Möglichkeit, in kleinen Gruppen gemeinsam zu üben, zu lernen und Erfahrungen auszutauschen.
Die Übungen zur Analysis I finden einmal pro Woche in Gruppen mit ca. 20 Teilnehmern statt. Zur Teilnahme an den Übungen müssen Sie sich via WueStudy anmelden (ab Oktober 2019). Die ersten Übungen finden in der zweiten Vorlesungswoche statt.

Übungsaufgaben: Das Lösen von mathematischen Problemen ist eine Kunst. Diese zu erlernen, ist neben Erfolgserlebnissen auch mit Frustrationen verbunden. Es stellt sich (auch für erfahrene Mathematikerinnen und Mathematiker) oft die Frage Wie findet man die Lösung einer Aufgabe? Leider gibt es dafür kein Patentrezept. Neben Talent sind vor allem auch Ausdauer und Erfahrung erforderlich. Es gibt aber eine Reihe von allgemeinen Problemlösungsstrategien, die in den Übungen und Tutorien diskutiert werden und die Ihnen oft helfen werden, weiter zu kommen. Achten Sie auch genau auf die Vorgehensweise in den Vorlesungen, insbesondere auf die Beweise. Dort werden alle Techniken und Methoden, die zur Lösung der Aufgaben benötigt werden, vorgestellt. Die notwendige Erfahrung und die Ausdauer zur erfolgreichen Bearbeitung mathematischer Probleme erwerben Sie jedoch nur dann, wenn Sie diese Problemlösungsstrategien auch anhand möglichst vieler Übungsaufgaben selbstständig anwenden und verinnerlichen. Sollten Sie bisweilen bei dem Versuch, die Übungsaufgaben zu bearbeiten, auf größere Schwierigkeiten stoßen, so lassen Sie sich hiervon nicht entmutigen! Das Erlernen und Anwenden von Mathematik ist ein sehr komplexer Vorgang - im Gegensatz zur Schulmathematik, die Ihnen mit großer Wahrscheinlichkeit niemals richtige Kopfschmerzen bereitet hat. Das "Verstehen" von Hochschulmathematik ist ein fortschreitender Prozeß, bei dem sich in der Regel die anfänglich häufig vorhandenen Verständnisschwierigkeiten erst durch intensives Auseinandersetzen mit den Konzepten Schritt für Schritt ausräumen lassen. Versuchen Sie deshalb alle aufkommenden Fragen möglichst zeitnah zu klären. Nutzen Sie hierzu z.B. die Gesprächsgelegenheiten nach der Vorlesung bzw. Übung und insbesondere auch die angebotenen Sprechstunden. Beachten Sie auch, dass die Übungsaufgaben eng an die Vorlesung anschließen. Dieser Zusammenhang der Übungsaufgaben zur Vorlesung erschließt sich jedoch oft erst im Laufe einer sorgfältigen Vorlesungsnachbereitung.

Hochschulmathematik: Gegenüber der Schulmathematik und den anderen Wissenschaften zeichnet sich die Universitätsmathematik durch eine Reihe von fachspezifischen Eigenheiten aus:
Der Physik-Nobelpreisträger Richard Feynman schrieb in diesem Zusammenhang:
In fact, the glory of mathematics is that we do not have to say what we are talking about. The glory is that the laws, the arguments, and the logic are independent of what "it" is.

Last Updated: 1-Jun-19