Komplexe Dynamik

Prof. Dr. Rainer Brück, Dortmund

Wendet man ein Polynom p immer wieder auf seine Funktionswerte an, dann ergibt sich eine Folge komplexer Zahlen

      z → p(z) → p(p(z)) → p(p(p(z))) .....

Abhängig vom Startwert z kann diese Folge zwei grundlegend verschiedene Verhaltensweisen zeigen:

• Eine kleine Änderung des Startwertes führt zu praktisch der gleichen Folge, die Dynamik ist in gewissem Sinne stabil: der Startwert wird der Fatou-Menge des Polynoms zugeordnet.
• Eine noch so kleine Änderung des Startwertes führt zu einem komplett anderen Verhalten der Folge, die Dynamik hängt "chaotisch" vom Startwert ab: der Startwert gehört zur Julia-Menge des Polynoms.

Fatou- und Julia-Mengen selbst einfacher Polynome wie p(z)=z²+c bilden erstaunlich komplexe Objekte. Man stellt eine fundamentale Dichtotomie fest: Entweder ist die Julia-Menge zusammenhängend oder die Julia-Menge ist total unzusammenhägend (Fatou-Staub). Diejenigen Parameter-Werte c für die der erste Fall eintritt, bilden die berühmte Mandelbrot-Menge.

c=-1 (zusammenhängende Julia-Menge)

c=-0.6+0.6 i (Fatou-Staub)

Die Mandelbrot-Menge

Die Vorlesungen von Rainer Brück über Komplexe Dynamik geben eine Einführung in die faszinierende Welt der Julia-Mengen und der Mandelbrot-Menge.