Einführung in die Funktionentheorie
(08 00160, M-FTH-1, Sommersemester 2018)

• Allgemeine Informationen
  Viele Probleme und Fragestellungen aus der Mathematik und der Physik aber auch den Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften vereinfachen sich auf magische Weise sobald man diese aus der Perspektive der Funktionentheorie mithilfe komplexer Zahlen behandelt. Wir illustrieren dies an vier einfachen Beispielen.
  • Funktionentheorie hilft die wichtigsten Funktionen der Mathematik zu verstehen
    Trigonometrische Formeln wie das Additionstheorem sin(x+y)=sin(x) cos(y)+sin(y) cos(x) des Sinus lassen sich rein reell nur umständlich beweisen und lassen sich insbesondere nur beschwerlich merken. Benutzt man aber die Exponentialfunktion im Komplexen, so ergeben sich diese und andere trigonometrische Formeln in äußerst einfacher Weise aus der simplen Funktionalgleichung exp(z+w)=exp(z) exp(w) der Exponentialfunktion für komplexe Zahlen. Aber nur im Komplexen ist der innere Zusammenhang der trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion sichtbar. In ähnlicher, aber subtilerer Weise geben auch viele andere grundlegende Funktionen der Mathematik und Physik ihre Geheimnisse erst dann preis, wenn man sie als Funktionen von komplexen Veränderlichen auffasst. Beispielsweise ist die wohl berühmteste Vermutung der Mathematik, die Riemannsche Vermutung, eine Vermutung über die Nullstellen einer komplexen Funktion, der Riemannschen Zetafunktion. Aber auch viele der speziellen Funktionen der Mathematischen Physik, wie z.B. die Besselfunktionen, welche bei der quantenmechanischen Behandlung des Wasserstoffatoms in Erscheinung treten, lassen sich erst im Komplexen befriedigend behandeln.
    
    
  • Konvergenzradien von Taylorreihen und die Riemannsche Zetafunktion
    Im Reellen besteht zwischen dem Verhalten einer beliebig oft reell differenzierbaren Funktion und der Größe der Konvergenzintervalle ihrer Taylorreihen kein erkennbarer Zusammenhang. So ist die Funktion 1/(1+x²) beliebig oft auf ℝ differenzierbar, jedoch konvergiert Ihre Taylorreihe mit Entwicklungspunkt 0 lediglich im Interval (-1,1). Warum ist dies so? Im Reellen gibt es keinen einleuchtenden Grund für dieses Verhalten. Im Komplexen jedoch liegt die Sache anders und wir werden in der Vorlesung eine allgemeine Methode kennenlernen, die es in vielen Fällen erlaubt, den Konvergenzradius einer Potenzreihe vollkommen ohne Rechnung, sondern lediglich durch "Hinschauen" zu bestimmen. Ebenso lassen sich die Koeffizienten einer komplexen Potenzreihe oft aus der sie darstellenden komplexen Funktion bestimmen. In der Vorlesung werden wir auf diese Weise die Werte der Riemannschen Zetafunktion
    
    
    in den geraden natürlichen Zahlen bestimmen:
    
    
    oder allgemein mithilfe der Bernoulli-Zahlen
    
    
  • Nullstellen von Polynomen und Anwendungen in der Astrophysik
    Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass sich reelle Polynome mithilfe reeller Polynome vom Grad 1 oder 2 faktorisieren lassen. Mit rein reellen Methoden ist der Beweis dieser Aussage nicht einfach. Wir werden in der Vorlesung mehrere funktionentheoretische "Ein-Zeilen-Beweise" kennenlernen, die eine völlig natürliche Erklärung für den Fundamentalsatz der Algebra geben. Tatsächlich ist der Fundamentalsatz der Algebra im Wesentlichen ein Spezialfall des Satzes von Liouville, eines wichtigen Satzes der Funktionentheorie. Der Satz von Liouville besitzt vielfätige Anwendungen u.a. in der Funktionalanalysis und der Mathematischen Physik für die Spektraltheorie von Operatoren auf unendlich dimensionalen Vektorräumen. Eine andere Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Algebra befasst sich mit den Nullstellen sog. harmonischer Polynome. Diese stellt einen engen Bezug zu dem durch die Allgemeine Relativitätstheorie vorhergesagten Gravitationslinsenseffekt in der Astrophysik her, der seit einigen Jahren intensiv beforscht wird, siehe Link.
    
    
  • Berechnung bestimmter Integrale und die Jordansche Normalform
    Wie berechnet man bestimmte Integrale
    
    
    falls die Funktion keine explizit bekannte Stammfunktion besitzt? Hier laufen rein reelle Überlegungen oft ins Leere. Methoden der Funktionentheorie erlauben hingegen eine erstaunlich einfache Berechnung bestimmter Integrale ohne dass hierfür eine Stammfunktion des Integranden bekannt sein müsste! Als Beispiele berechnen wir u.a. die Fresnelschen Integrale
    
    
    
    Diese spielen in der Theorie der Lichtbrechung und bei der Behandlung von Pfadintegralen in der Quantenmechanik eine wichtige Rolle. Die Methode zur funktionentheoretischen Behandlung reeller Integrale beruhen alle auf einem zentralen Satz der Funktionentheorie, dem Residuensatz. Dieser besitzt weitere interessante Anwendungen wie z.B. einen wirklich einfachen Beweis für die Jordansche Normalform komplexer Matrizen, der sich zudem so verallgemeinern lässt, dass man damit auch eine entsprechende "Spektralzerlegung" für viele stetige lineare Abbildungen auf unendlich dimensionalen Banachräumen erhalten kann.
  
  
  

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