Dozent:
Oliver
Roth
Zeit und Ort: Mo., 14-16 & Di 12-14
(SE 40)
Beginn: Mo., 16.10.2017, 14:15 Uhr
(SE 40).
Inhaltsangabe:
Die Vorlesung behandelt fortgeschrittene Themen der Komplexen Analysis und
der Funktionalanalysis, insbesondere die zahlreichen Querverbindungen zwischen
diesen Gebieten. Manche der Themen spielen in der Mathematischen Physik eine
gewisse Rolle (z.B. Fréchet Räume, Bergman
Räume und Bergman Metriken, Bargmann-Fock Räume,
Spektralssatz für unbeschränkte
Operatoren). Die Kapitel über die Laplace- und Poissongleichung
bieten Anknüpfungspunkte an die Theorie der partiellen
Differentialgleichungen (z.B. an die Vorlesung
Potentialtheorie).
Die Abschnitte über Banachalgebren bieten Anknüpfungspunkte an
die Vorlesung
Algebra und Dynamik von Quantensystemen.
Folgende Inhalte sind angedacht:
- Prélude: Rieszscher Darstellungssatz vs.
lokale Cauchy-Integralformel
- Fréchet- und Banachräume (holomorpher und
glatter Funktionen)
- Fréchet Dualität insbesondere für holomorphe
Funktionen d'apres Grothendieck
- Anwendungen: Rungetheorie, Satz von Mittag-Leffler,
Birkhoff Universalität, Extremalprobleme
für holomorphe Funktionen
- Fréchet- und Banach-wertige holomorphe Funktionen (Satz von
Dunford)
- Funktionalkalkül für holomorphe Funktionen und
Spektralprojektionen
- Cauchy Integralformel und Resolventen von Operatoren
- Poissonformel, Herglotzformel und von Neumannsche Ungleichung
- Spektralmengen d'apres J. von Neumann
- Laplacegleichung, Greensche Funktionen und der Riemannsche
Abbildungssatz
- Inhomogene Cauchy Integralformel und Poissongleichung
- Anwendung 1: Spektralsatz für
beschränkte selbstadjungierte Operatoren
- Anwendung 2: Lie-Halbgruppen holomorpher Funktionen
- Möbiustransformationen und der Spektralsatz für
symmetrische Operatoren
- Komplexe Banachalgebren (Gelfand Theorie) und Fréchetalgebren
- Ideale und das Corona Theorem
- Invariante Unterräume des Ortsoperators und Hardy-Räume holomorpher
Funktionen
- Der Dreikreisesatz von Hadamard und Riesz-Thorin Interpolation
- Arzelà-Ascoli und die Picardschen Sätze
- H1 und BMOA
- Bergman und Bargmann-Fock Räme
- Bergman Metriken und der Riemannsche Abbildungssatz
Notwendige Vorkenntnisse:
Gute Kenntnisse der Inhalte der Bachelor-Vorlesung
Einführung in
die Funktionentheorie. Einige Grundkenntnisse in der
Funktionalanalysis sind hilfreich, können aber
ggf. im Rahmen der Lehrveranstaltung noch vermittelt werden.
Teilnehmerkreis:
Studierende der Masterstudiengänge Mathematik, Mathematische Physik,
Computational Mathematics.
Geplante Fortsetzung:
Es werden im Sommersemester 2018 voraussichtlich zwei AGs
angbeboten, die an die Vorlesung anknüpfen.
Dies ist zum einen eine AG
Komplexe Analysis, die weitere Themen
an der Schnittstelle Komplexe Analysis/Funktionalanalysis/Partielle
Differentialgleichungen/Differentialgeometrie zum Inhalt haben wird.
Zum anderen ist eine AG
Geometrie und Topologie
zum Thema
Stein Mannigfaltigkeiten geplant. Diese wird
gemeinsam mit dem Lehrstuhl für Mathematische Physik
veranstaltet.
Beide AGs können (müssen aber nicht) als Basis für eine
Masterarbeit in den betreffenden Gebieten dienen.
Literatur:
Soweit ich mich erinnern kann, waren folgende Monographien hilfreich
für die Vorbereitung der Lehrveranstaltung:
J.B. Garnett,
Bounded Analytic Functions, Springer 2007.
P. Lax,
Functional Analysis, Wiley
2002.
P. Lax and L. Zalcman,
Complex Proofs of Real Theorems,
Amer. Math. Soc. 2012.
D.H. Luecking, L.A. Rubel,
Complex Analysis - A Functional Analysis
Approach, Springer 1984.
E.T. Sawyer,
Function Theory: Interpolation and Corona Problems
Fields Institute Monographs, 2009.
B. Simon,
A Comprehensive Course in Analysis, Part 1-4,
Amer. Math. Soc. 2015.
sowie
J. Agler, J. Harland, B.J. Raphael,
Classical Function Theory, Operator Dilation Theory, and Machine
Computation on Multiply-Connected Domains,
Memoirs of the AMS, 2008.
J. Agler, J.E. McCarthy,
Pick Interpolation and Hilbert Function Spaces
AMS, 2002.
M. Andersson,
Topics in Complex Analysis, Springer 1996.
C. Berenstein, R. Gay,
Complex Variables, Springer 1997.
J. Bruna, J. Cufi,
Complex Analysis, Europ. Math. Soc. 2013.
P. Duren, A. Schuster,
Bergman Spaces, Amer. Math. Soc. 2004
O. El-Fallah, K. Kellay, J. Mashreghi, T. Ransford,
A Primer on the
Dirichlet Space, Cambridge Univ. Press, 2015.
E. Fricain, J. Mashreghi,
Theory of H(b) Spaces, Cambridge Univ.
Press, 2015
O. Forster,
Lectures on Riemann Surfaces, Springer 1999.
T.W. Gamelin,
Uniform Algebras, Oxford University Press.
I. Gohberg, J. Leiterer,
Holomorphic Operator Functions of One Variable and Applications,
Springer, 2009.
H. Goldmann,
Uniform Fréchet Algebras, North Holland,
1990.
M. Haase,
The Functional Calculus for Sectorial Operators,
Birkhaeuser, 2006
B.C. Hall,
Quantum Theory for Mathematicians, Springer 2013.
F. Haslinger,
The d-bar Neumann problem and Schrödinger operators,
De Gruyter, 2014.
H. Hedenmalm, B. Korenblum, K. Zhu,
Theory of Bergman Spaces,
Springer 2000.
W. Kaballo,
Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie,
Springer 2014.
P. Koosis,
Introducxtion to Hp-spaces, Cambridge Univ. Press
2008.
J. Mashreghi,
Representation Theorems in Hardy Spaces, Cambridge
Univ. Press 2009.
R. Narasimhan, Y. Nievergelt,
Complex Analysis in One Variable,
Birkhäuser 2001.
Ch. Pommerenke,
Boundary Behaviour of Conformal Maps, Springer
1992.
T. Ransford,
Potential Theory in the Complex Plane, London Math.
Soc. 1995.
M. Rosenblum, J. Rovnyak,
Topics in Hardy Classes and Univalent
Functions, Birkhäuser, 1994.
W. Rudin,
Real and Complex Analysis, McGraw Hill 1983.
A. Sasane,
Algebras of Holomorphic Functions and Control Theory,
Dover 2009.
G. Schober,
Univalent Functions - Selected Topics, Springer 1975.
J.H. Shapiro,
Composition Operators and Classical Function Theory,
Springer 1993.
D. Shoiket,
Semigroups in Geometrical Function Theory, Kluwer
Acad. Pub. 2001.
E. Stout,
Polynomial Convexity,
Birkhäuser 2007.
W. Werner,
Funktionalanalysis, Springer 2011.
K. Zhu,
Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball, Springer
2005.
Last
Updated: 1-Aug-17