Dmitri Nedrenco
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Zimmer 30.03.013, Mathematik West
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Schöne Aufgaben

Ich sammle interessante und schöne mathematische Aufgaben mit schönen Lösungen. Hier möchte ich einige davon vorstellen.
Am Institut für Mathematik in Würzburg sind Türen mit Kreidefarbe bestrichen, so dass folgende Begriffe entstanden sind: Eine Aufgabe heißt stark türschön, wenn sie schön ist und es existiert eine Lösung der Aufgabe, so dass die Aufgabe selbst sowie diese Lösung auf eine Tür passen. Eine Aufgabe heißt schwach türschön, wenn sie schön ist und auf eine Tür passt, was man von ihrer Lösung nicht verlangt. Beide Begriffe sind allerdings nur bedingt wohldefiniert.
Viele der Aufgaben sind der Zeitschrift »Kvant« entnommen, einige stammen von Wladimir Arnold aus seiner Broschüre »Aufgaben für Kinden zwischen 5 und 15 Jahren« (deutsche Version zum Beispiel hier zu finden).

Die Aufgaben richten sich an alle Mathematikinteressierte. Gut möglich, dass manche Grundschüler einige Aufgaben lösen werden und manche Professoren einige Aufgaben werden nicht lösen können; dabei muss es sich nicht um dieselbe Aufgaben handeln.

Fragen, Anregungen, Kritik und passende Bemerkungen können Sie mir gerne per E-Mail schreiben.

Vermeintlich leichte Kinderaufgaben

K1. Anika und Benedikt wollen jeweils ein Buch »Einführung in die Märchen IV« kaufen, doch Anika fehlen 7 Cent zum Kauf des Buches und Benedikt fehlt 1 Cent zum Kauf des Buches. Sie legen das Geld zusammen, um zumindest ein Buch zu kaufen, doch es reicht immer noch nicht.
Was kostet das Buch?

K2. Vor Ihnen steht ein Fass mit Wein und eine Tasse Tee. Sie nehmen einen Löffel Tee, kippen die Flüssigkeit in den Wein und rühren um. Anschließend nehmen Sie einen Löffel des Gemischs und kippen es in den Tee.
In welchem Gefäss ist die Menge der Fremdflüssigkeit größer?

K3. Sie haben im Regal zwei Bände Goethes Faust stehen, Faust I und Faust II. Ein Bücherwurm beißt sich senkrecht zur Buchebene durch und geht von ersten Seite des ersten Bandes bis zur letzten Seite des zweiten Bandes. Nehmen wir an, dass die Seitendicke der Bände jeweils 2 cm ist und ein Cover jeweils 3 mm dick ist.
Welchen Weg hat der Wurm zurückgelegt? Hinweis: Die Antwort 4,6 cm ist falsch.

K4. Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 10 cm und die zugehörige Höhe ist 6 cm lang. Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks?

K5. Auf dem Oktoberfest behauptet ein Gast, ein Riesenschnitzel in einer Stunde aufessen zu können. Ein weiterer Gast möchte dieselbe Leistung in einer halben Stunde bringen. Ein dritter Gast behauptet sogar, es in 20 Minuten zu schaffen. Alle topt ein gebürtiger Münchner, der das Schnitzel in nur 15 Minuten verschwinden lässt. Wie lange brauchen alle vier, wenn sie an einem Schnitzel gleichzeitig zu essen beginnen?

K6. In einem kubischen Zimmer sitzt in einer Ecke eine Schnecke und möchte möglichst schnell in die entfernteste Ecke des Zimmers kriechen. Wie sieht ihr Weg aus?

Stark türschöne Aufgaben

Stark1. Berechnen Sie \tfrac{1}{1\cdot 2}+\tfrac{1}{2\cdot 3}+\ldots + \tfrac{1}{99\cdot 100}. Dabei sollte sich die Lösung nicht mehr als um 1% von Ihrer Antwort unterscheiden.

Stark2. Beweisen Sie, dass alle Zahlen der Form \textstyle \overbrace{44..44}^{n}\overbrace{88..889}^{n} für \textstyle n\in\mathbb{N} Quadratzahlen sind.

Stark3. Gegeben seien zwei Punkte A und B und eine Gerade. Finden Sie einen Punkt C auf der Geraden, so dass die Zahl AB+BC minimal wird, wobei AB bzw. BC die Längen der Strecken von A nach B bzw. von B nach C bedeuten.

Stark4. Beweisen Sie die Ungleichung \textstyle \sqrt{2 + \sqrt[3]{3+\sqrt[4]{4+\ldots +\sqrt[2014]{2014}}}}<2 .

Stark5. Zeigen Sie, dass das Produkt n aufeinanderfolgender ganzer Zahlen durch n! teilbar ist.

Stark6. Entscheiden Sie im Kopf, ob 140355677088 durch 350142849 teilbar ist.

Stark7. Sei a_1=z_1z_2\ldots z_n, z_i\in\{0,\ldots,9\} eine natürliche Zahl in Dezimaldarstellung. Aus der Zahl a_1 entsteht a_2=z_1z_2\ldots z_{n-1}+4z_n und rekursiv a_i. Beweisen Sie: Falls ein so konstruiertes a_k gleich 1001 ist, dann ist keine der Zahlen a_i eine Primzahl.

Schwach türschöne Aufgaben

Schwach1. Gibt es natürliche Zahlen a mit \sqrt{aa}\in\mathbb{N}, wobei aa = a\cdot 10^k +a für eine geeignete 10er Potenz ist?

Schwach2. Seien x und y natürliche Zahlen und die Summe der Brüche \tfrac{x^2-1}{y+1} + \tfrac{y^2-1}{x+1} sei eine ganze Zahl. Zeigen Sie, dass auch die Brüche selbst ganze Zahlen sind.

Schwach3. Beweisen Sie, dass keine Funktion \textstyle f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} existiert mit \textstyle f(f(x))=x^2-2014.

Papierfalten-Aufgaben

Bevor ich die Aufgaben stelle, muss ich erklären, was die Spielregeln sind. Wir arbeiten mit einem Quadrat Papier. Wir lassen nur solche Faltschritte zu, bei denen genau ein Falz entsteht (das kann man bei Bedarf mathematisch präzise formulieren). Ein (gefalteter) Punkt ist eine der vier Ecken des Quadrats oder ein Schnittpunkt zweier Falze.

O1. Falten Sie ein rechtwinkliges Dreieck. Falten Sie ein gleichschenkliges Dreieck. Falten Sie ein gleichseitiges Dreieck.

O2. Falten Sie ein gleichseitiges Dreieck mit maximal möglicher Fläche in diesem Quadrat. Wie groß ist denn die Fläche von so einem Dreieck?

O4. Sei f ein Falz und p ein Punkt mit p\not\in f. Falten Sie das Bild des Punktes p bei der Spiegelung an f.

O5. Halbieren Sie mittels Falten einen beliebigen Winkel – das war leicht! Können Sie einen Winkel verdoppeln? Können Sie einen beliebigen Winkel dritteln?